Теорема о вложенных стягивающихся прямоугольниках

Для каждой последовательности вложенных замкнутых $m$-мерных прямоугольников $\Delta^{n} = \{x \in \mathbb{R}^{m} : a^{n}_{k} \leq x^{n}_{k} \leq b^{n}_{k}\}$, диаметры которых стремятся к нулю, существует единственная точка, принадлежащая всем этим прямоугольникам.

Согласно условиям теоремы при каждом $k$ имеем последовательность вложенных отрезков $\{[a^{n}_{k}, b^{n}_{k}]\}$, длины которых стремятся к нулю. Значит, существует единственная точка $c_{k}$, принадлежащая всем отрезкам $[a^{n}_{k}, b^{n}_{k}]$, $n = 1,2,\dots$. Точка $c = (c_{1}, c_{2}, \dots, c_{m})$ принадлежит всем прямоугольникам $\Delta^{n}$, а из стремления к нулю диаметров прямоугольников следует, что такая точка только одна. $\square$